Apuntes de proporcionalidad

Vayan a http://matecolmex.blogspot.com/2008/10/17-determinar-el-factor-inverso-dada.html ahi ya esta el apunte

Paralelas cortadas por una secante

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Perpendicularidad y paralelismo

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lo siento pero por la cantidad de gráficos es difícil adaptarla al blog, si no estas en la lista de sky drive pide a alguien que sí este que te mande el archivo.

Conceptos básicos de Geometría

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1. Punto: Lugar específico en el espacio
2. Línea: Sucesión de puntos
3. Recta: Sucesión de puntos que siguen una misma dirección, no tiene límites definidos.
4. Semirecta: Sucesión de puntos que siguen una misma dirección con un límite definido y otro indefinido.
5. Segmento de recta: sucesión de puntos que siguen una misma dirección con dos límites definidos.
6. Ángulos: Son la unión de dos rectas que tienen un punto extremo en común, las rectas se llaman lados del ángulo y el punto común es el vértice. Los ángulos se miden por medio de la cantidad de rotación, con ayuda del sistema babilónico. La unidad fundamental se llama grado (º).

Los ángulos se clasifican en función de la medida de sus grados:

• Ángulo Agudo: entre 0º y 90º
• Ángulo Recto = 90º
• Ángulo obtuso: mas de 90º y menos de 180º
• Ángulo llano: = 180º
  

También las relaciones entre los ángulos se pueden decir por su posición o por sus medidas sumadas

• Ángulos colineales: Aquellos que comparten un lado y el vértice
• Ángulos opuestos por el vértice: Sólo comparten el vértice, pero de uno sus lados son la prolongación del otro ángulo.
• Ángulos Complementarios: Aquellos que suman 90º
• Ángulos Suplementarios: Aquellos que suman 180º
  
  Ejercicio
  Dibujar los siguientes ángulos y clasificarlos según su medida:
  1) 15º
  2) 20º
  3) 35º
  4) 45º
  5) 75º
  6) 90º
  7) 110º
  8) 135º
  9) 150º
  10) 175º
  11) Dos ángulos opuestos por el vértice
  12) Dos ángulos complementarios de 50º y 40º
  13) Dos ángulos complementarios de 30º y 60º
  14) Dos ángulos suplementarios de 100º y 80º
  15) Dos ángulos suplementarios de 125º y 55º

1.4 Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida

Preliminares
Geometría
Viene del griego “geos” – tierra y “metrón” – medida, y surge en las primeras civilizaciones de la necesidad de establecer límites a los terrenos agrícolas y urbanos. Algunos de los primeros trabajos que se tienen de esta rama de las matemáticas son:

Bosquejo Histórico
El escrito mas antiguo que se conoce sobre geometrìa es el Papiro de Ahmés (Egipto), su título original es “Introducción para saber todas las cosas secretas”. Contiene problemas de aritmética y geometría con sus soluciones, pero no con su procedimiento.

Los babilonios dividen al giro completo en 360º a partir de subdividir cada uno de sus 12 meses regidos por una constelación diferente (zodiaco) .

Cada época del año tenía una constelación del zodiaco. Cada noche podían ver, desde que se pone el sol hasta que vuelve a salir, todas las constelaciones menos una. Esto es porque el sol impide ver la que está justo "detrás" de él. Y como aproximadamente cada mes cambia la constelación que no se ve, se tiene un sistema de fechas bastante aproximado.

Con los griegos se llega a la fundamentación de la geometría en sus reglas principales, conjuntando los conocimientos egipcios y babilónicos con sus propios estudios, los estudiosos de esta disciplina mas destacados fueron:

Tales de Mileto: Primer astrónomo que predice con exactitud un eclipse, y calculó por medio de ángulos y sombras la altura total de la Pirámide de Keops.
Pitágoras: Inventor del término matemáticas. Funda la primera escuela dedicada a las matemáticas, que divide en 4 secciones:

-Números absolutos o aritmética
-Números aplicados o música
-Magnitudes en reposo o geometría
-Magnitudes en movimiento o astronomía

Sus dos teoremas mas importantes son:

-La suma de los ángulos interiores de un triángulo (180º)
-El teorema de Pitágoras (A partir de la Edad Media, fue considerado como el "pons asinorum", el puente de los asnos, es decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas)

Euclides escribe “Los Elementos", la primera obra dedicada exclusivamente a a la geometría, sus capítulos se llaman biblos. Contiene todos los fundamentos de geometría plana ( por eso se le llama también euclidiana), que se seguirán por mas de 2000 años.

Primera página de Los Elementos, en la primera edición impresa en latín en 1492, con traducción de Campanus

Los Elementos han sido la primera obra matemática fundamental que ha llegado hasta nuestros días, el texto más venerado y que mayor influencia ha tenido en toda la historia de la Matemática. De hecho, después de la Biblia, son Los Elementos de Euclides la obra que más ediciones ha conocido desde que Gutenberg inventara la imprenta. Los Elementos están constituidos por XIII libros que contienen 465 proposiciones, todas verdaderas, que han resistido el paso del tiempo como ninguna otra científica permaneciendo vigente e insuperable a lo largo de más de 2300 años. De lo anterior no es por tanto de extrañar que de esta magnífica obra se nutrieran casi todos los grandes matemáticos que después han sido: Arquímedes, Newton, Euler, Gauss, .... No en vano Einstein escribe de ella «Es maravilloso que un hombre sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento», o Bertran Russel «la lectura de Euclides a los 11 años fue uno de los grandes acontecimientos de mi vida, tan deslumbrante como el primer amor ».

Incluso los grandes filósofos tenían a la geometría como un paso necesario para la comprensión del universo. Platón, cuando fundo su academia en el siglo IV a.C. hizo escribir en el frente del edificio: ''QUE NADIE ENTRE AQUI SI NO SABE GEOMETRIA'' .


Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos instrumentos que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarca la figura del matemático y arquitecto Luca Pacioli, de Leonardo da Vinci, de Alberto Durero, de Leone Battista Alberti, de Piero della Francesca, por citar sólo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas de Geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva.

Pero es sin duda la aparición de la Geometría Cartesiana lo que marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en Geometría. Lo novedoso de la Geometría Analítica (como también se conoce a este método) es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de primer grado y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de segundo grado. Esto convertía toda la Geometría griega en el estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2.

Gauss devuelve el carácter geométrico que impregna parte del Análisis Matemático, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento de la Variable Compleja y de la Geometría Diferencial.

Bolyai y Lobatchevsky, de manera independiente y simultáneamente publican cada uno una geometría distinta a la Euclidiana.

Riemann se pregunta qué problema hay en aumentar el número de dimensiones del espacio. Usando aún un lenguaje intuitivo y sin hacer demostraciones, introduce primero el concepto de variedad diferenciable, generalización del concepto de superficie a cualquier número (entero positivo) arbitrario de dimensiones. Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas para su época, cuajaron definitivamente cuando Einstein y Poincaré, al mismo tiempo pero de manera independiente, las aplicaron al espacio físico para crear la Teoría de la Relatividad.