miércoles, 11 de febrero de 2009

3.2. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx + c = dx +ex + f y con parén

Bosquejo Histórico de las Ecuaciones de 1° Grado

Resolver la ecuaciones de 1° Grado es un largo proceso histórico que ha llevado mas de 3,000 años, en donde se distinguen tres periodos principales:

Primera Fase
Comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones básicas.

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind -1650 a. de C- y el de Moscú -1850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones. En ellos a la x la denominaban ahu o montón.


Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind responde al problema siguiente:


"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".
En notación moderna, la ecuación sería: x + 1 / 7 x = 24

Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.

Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuación 5x = 8 . En las tablas en base sexagesimal hallaban el recíproco de cinco que era 12/60 y en la tabla de multiplicar por 8 , encontramos 8 · 12/60 = 1 36/60 .

Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diofanto (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometría, de hecho el álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), es llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.


Sobre la vida de Diofanto aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal y dice:

" Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó su sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro años.De todo esto, deduce su edad. "

En la India, los primeros documentos matemáticos que existen (datan del siglo III d. de C.) son los Sulvasütras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. En éstos aparece el siguiente problema:

Hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su área es igual al área de un cuadrado dado. Lo resolvían utilizando el método de la falsa posición, como los egipcios.

Bhaskara (1114-1185) Es el primero en usar un concepto moderno de “incógnita” en las ecuaciones, y el primero en idear la formula general de resolución de ecuaciones cuadráticas.


Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, cómo resolver ecuaciones lineales. La incógnita la representaba por la abreviatura ya , y las operaciones con la primera sílaba de las palabras.
Dada la ecuación ax + b = cx + d , la solución vendrá dada dividiendo la diferencia de los términos conocidos entre la diferencia de los coeficientes de los desconocidos, esto es,

Estos métodos pasaron a los árabes que los extendieron por Europa. Al algebrista Abu-Kamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la solución de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posición.


Con Al-Jwārizmī se llega al culmen de esta fase cuando idea el método de la compleción y el balanceo ("Hisab al yabr al muqabala", título de su libro mas conocido). La reducción se lleva a cabo utilizando las operaciones de al-jabr ("compleción", el proceso de eliminar términos negativos de la ecuación) y al-muqabala ("balanceo", el proceso de reducir los términos positivos de la misma potencia cuando suceden de ambos lados de la ecuación). Luego, al-Jwarizmi muestra como resolver seis tipos de ecuaciones, usando métodos de solución algebraicos y geométricos.

Segunda fase
La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones.


Tercera fase
Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).


División de las Igualdades

Las igualdades son expresiones algebraicas que comparan dos elementos específicos ( binomios, trinomios , términos independientes, etc) y que dependiendo de los valores que cumplan esa regla, se van a subdividir en:

  1. Identidades: Cualquier valor las satisface
    P. Ej.: 2x+3x=5x
  2. Ecuaciones: Solo un grupo de valores específicos la satisface. O sea, es una igualdad condicional.
    P. Ej.:
    2x+4=10 Ecuación de 1° grado con una incógnita .
    3x2-3x+4=0 Ecuación de 2° grado con una incógnita .
    3x+4y=12 Ecuación de 1° grado con dos incógnitas.



Partes de una Ecuación

  • >La Ecuación contiene una o varias cantidades desconocidas llamadas INCÓGNITAS representadas por letras (generalmente x, pero no siempre)
  • >Cada expresión algebraica que aparece de uno u otro lado del signo de igual de la ecuación se llamará MIEMBRO, primer miembro si esta a la izquierda y segundo si esta a la derecha.
  • >Resolver una Ecuación es encontrar el valor de la incógnita que hace iguales ambos miembros de la ecuación.
  • >El valor que satisface a la ecuación es la RAÍZ o SOLUCIÓN.

Resolución de Ecuaciones de 1° Grado con una Incógnita

Para resolver una ecuación de 1° Grado con una incógnita se emplean dos herramientas:

  1. La Propiedad del Equilibrio de las Igualdades: que nos dice que si en una igualdad a ambos miembros se les suma, resta, multiplica, divide , potencia o sacar raíz de la misma cantidad, la igualdad se conserva. (Lo que se hace de un lado se hace del otro).
  2. La Operaciones Aritméticas Contrarias: De la suma, la resta; de la multiplicación, la división; de la potencia, la raíz.

De tal manera que para hallar la solución de una ecuación tenemos que:

  1. Despejar paulatinamente la literal, eliminando cantidades que la rodean por medio de la operación contraria.
  2. Para mantener la igualdad se aplica la ley del equilibrio de las igualdades, poniendo lo que se hizo de un lado de la ecuación en el otro lado y resolviendo las operaciones resultantes.
  3. La incógnita estará despejada cuando quede sola, positiva y entera.

Algunos consejos a la hora de trabajar con ecuaciones:

  • >Colocar los signos de = alineados verticalmente .
  • >Resaltar el resultado siempre .
  • >Colocar todo el proceso de la ecuación en una sola página .